SKKN Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là bài toán không đơn giản, vì vậy ở đây ta chỉ xét một số dạng biểu thức đặc biệt có công thức giải cơ bản, phù hợp với khả năng tiếp thu của số đông học sinh lớp 8.
A. ®Æt vÊn ®Ò
Trong ch−¬ng tr×nh to¸n bËc trung häc c¬ së, d¹ng to¸n “ T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc ” lµ mét d¹ng to¸n th−êng ®−îc ®−a
ra trong c¸c ®Ò thi häc kú, kiÓm tra cuèi ch−¬ng,… nh»m dµnh cho c¸c häc sinh
phÊn ®Êu ®¹t ®iÓm giái. Tuy nhiªn, s¸ch gi¸o khoa kh«ng dµnh tiÕt häc nµo cho
riªng d¹ng bµi nµy mµ ®−a ra nh− nh÷ng bµi tËp n©ng cao yªu cÇu häc sinh tù
t×m tßi gi¶i quyÕt theo gîi ý cña gi¸o viªn. ChÝnh v× vËy häc sinh th−êng gÆp
khã kh¨n khi gi¶i c¸c bµi tËp d¹ng nµy nªn kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt vµ tr×nh bµy
kh«ng ®−îc tèt.
§Ó gióp c¸c em häc sinh kh¸ to¸n trong líp cã thÓ lµm tèt d¹ng to¸n nµy,
t«i ®· dµnh thêi gian nghiªn cøu tµi liÖu vµ biªn so¹n hÖ thèng ph−¬ng ph¸p
cïng bµi tËp ®Ó ®−a ra ®Ò tµi “ Ph−¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín
nhÊt cña mét biÓu thøc ” víi môc ®Ých gióp häc sinh tiÕp thu ®−îc dÔ dµng h¬n
mét d¹ng to¸n khã, ®ång thêi cã dÞp rÌn luyÖn t− duy vµ ph¸t huy ®−îc tÝnh tÝch
cùc trong häc tËp cho häc sinh. Khi häc sinh cã kiÕn thøc tèt vÒ d¹ng to¸n nµy,
c¸c em sÏ ®−îc cñng cè tèt h¬n c¶ c¸c bµi to¸n n©ng cao kh¸c trong ch−¬ng
tr×nh to¸n THCS nh− “ Chøng minh mét biÓu thøc lu«n nhËn gi¸ trÞ d−¬ng hoÆc
©m ”, “ Chøng minh bÊt ®¼ng thøc “, …
V× hiÓu ®−îc vai trß quan träng cña d¹ng to¸n nµy vµ còng thÊy râ c¸c
khã kh¨n cña häc sinh häc tËp còng nh− gi¸o viªn gi¶ng d¹y, t«i ®· m¹nh d¹n
viÕt tµi liÖu “ Ph−¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu
thøc ” ®Ó tr−íc hÕt phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cña chÝnh m×nh, sau ®ã t¹o
®iÒu kiÖn ®Ó b¶n th©n cã dÞp trao ®æi chuyªn m«n víi c¸c ®ång nghiÖp, n©ng cao
nghiÖp vô s− ph¹m vµ n¨ng lùc nghiªn cøu khoa häc cña c¸ nh©n.
B. Néi dung ®Ò tµi
I. Lý thuyÕt chung
∀
XÐt biÓu thøc A(x) x¸c ®Þnh x∈(a, b).
1. Bµi to¸n 1: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) trªn (a, b), ta cÇn tiÕn
hµnh c¸c b−íc:
∀
a) B−íc 1: Chøng tá r»ng A(x) ≥ k (k lµ mét h»ng sè) x∈(a, b).
b) B−íc 2: T×m gi¸ trÞ x = a ®Ó A(x) = k, tøc lµ chØ ra tr−êng hîp ®Ó x¶y ra dÊu
®¼ng thøc.
c) KÕt luËn: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A(x) = k khi x = a.
Ta th−êng dïng kÝ hiÖu: min A(x) = k ⇔ x = a.
2. Bµi to¸n 2: §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A(x) trªn (a, b), ta cÇn tiÕn
hµnh c¸c b−íc:
∀
a) B−íc 1: Chøng tá r»ng A(x) ≤ k (k lµ mét h»ng sè) x∈(a, b).
b) B−íc 2: T×m gi¸ trÞ x = a ®Ó A(x) = k, tøc lµ chØ ra tr−êng hîp ®Ó x¶y ra dÊu
®¼ng thøc.
c) KÕt luËn: Gi¸ trÞ lín nhÊt cña A(x) = k khi x = a.
Ta th−êng dïng kÝ hiÖu: max A(x) = k ⇔ x = a.
3. Chó ý.
a) Víi biÓu thøc chøa nhiÒu biÕn sè còng gi¶i t−¬ng tù nh− trªn.
b) Häc sinh hay m¾c ph¶i sai lÇm khi chØ thùc hiÖn b−íc 1 ®· kÕt luËn bµi to¸n,
dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai. V× vËy cÇn yªu cÇu häc sinh tr×nh bµy ®Çy ®ñ c¶ hai b−íc
hÕt søc cÈn thËn, kh«ng ®−îc thiÕu bÊt cø b−íc nµo.
VÝ dô 1. Cho biÓu thøc: A = x2 + (x – 2)2.
Mét häc sinh ®· t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh− sau:
2
2
∀
≥
≥
“Ta cã: x∈R, x
0 vµ (x – 2)
0 nªn A 0.
≥
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.”
Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng ?
Gi¶i. Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Häc sinh trªn ®· m¾c ph¶i sai lÇm lµ míi chøng
tá r»ng A ≥ 0 nh−ng ch−a chØ ra ®−îc tr−êng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. DÊu
®¼ng thøc kh«ng x¶y ra v× kh«ng thÓ cã ®ång thêi :
x2 = 0 vµ (x – 2)2 = 0.
Lêi gi¶i ®óng nh− sau:
+) Ta cã: A = x2 + (x – 2)2 = x2 + x2 – 4x + 4 = 2x2 – 4x + 4
= 2(x2 – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2 , ∀x∈R.
+) Mµ: A = 2 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
+) VËy: min A = 2 ⇔ x = 1.
c) Khi gi¶i c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc,
ta cÇn nhí c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc sau:
1) a2 ≥ 0 (Tæng qu¸t: a2k ≥ 0 víi k nguyªn d−¬ng).
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0.
2) -a2 ≤ 0 (Tæng qu¸t: -a2k ≤ 0 víi k nguyªn d−¬ng).
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0.
3) a ≥ 0. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0.
4) a ≥ a. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a ≥ 0.
5) - a ≤ a ≤ a . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0.
6) a + b ≤ a + b . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi ab ≥ 0.
7) a2 + b2 ≥2ab. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b.
a + b
8)
víi a, b ≥ 0 (BÊt ®¼ng thøc C«si).
≥ ab
2
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b.
1 1
9) a ≥ b, ab > 0 ⇒ ≤ . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b.
a b
a b
10) + ≥ 2 víi ab > 0. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b.
b a
d) Khi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc, nhiÒu khi ta
cÇn ph¶i ®æi biÕn.
e) Khi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc A víi A > 0,
1
trong nhiÒu tr−êng hîp ta l¹i ®i xÐt c¸c biÓu thøc
hoÆc A2.
A
Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc lµ bµi to¸n
kh«ng ®¬n gi¶n, v× vËy ë ®©y ta chØ xÐt mét sè d¹ng biÓu thøc ®Æc biÖt cã c«ng
thøc gi¶i c¬ b¶n, phï hîp víi kh¶ n¨ng tiÕp thu cña sè ®«ng häc sinh líp 8.
II. Mét sè d¹ng biÓu thøc cÇn t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ
lín nhÊt th−êng gÆp trong ch−¬ng tr×nh to¸n líp 8
D¹ng 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng tam
thøc bËc hai.
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: XÐt tam thøc bËc hai P = ax2 + bx + c.
* NÕu a > 0 th× P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Ta biÕn ®æi biÓu thøc P vÒ d¹ng aX2 + k
vµ cã kÕt qu¶: min P = k ⇔ X = 0.
* NÕu a < 0 th× P cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Ta còng biÕn ®æi biÓu thøc P vÒ d¹ng
aX2 + k vµ cã kÕt qu¶: max P = k ⇔ X = 0.
VÝ dô 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = x2 − 4x +1;
b) B = 2x2 − 8x +1;
c) C = 3x2 − 6x +1.
Gi¶i.
a) A = x2 − 4x +1= (x2 − 4x + 4) − 3 = (x − 2)2 − 3≥ −3.
A = -3 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 .
VËy: min A = -3 ⇔ x = 2.
b) B = 2x2 − 8x +1= 2(x2 − 4x + 4) − 7 = 2(x − 2)2 − 7 ≥ −7 .
B = -7 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 .
VËy: min B = -7 ⇔ x = 2.
c) C = 3x2 − 6x +1= 3(x2 − 2x +1) − 2 = 3(x −1)2 − 2 ≥ −2.
C = -2 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 .
VËy: min C = -2 ⇔ x = 1.
VÝ dô 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = −x2 − 4x +1;
b) B = −2x2 + 8x −1;
c) C = −3x2 − 6x + 5.
Gi¶i.
a) A = −x2 − 4x +1= −(x2 + 4x + 4) + 5 = −(x + 2)2 + 5 ≤ 5.
A = 5 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 .
VËy: max A = 5 ⇔ x = -2.
b) B = −2x2 + 8x −1= −2(x2 − 4x + 4) + 7 = −2(x − 2)2 + 7 ≤ 7.
B = 7 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 .
VËy: max B = 7 ⇔ x = 2.
c) C = −3x2 − 6x + 5 = −3(x2 + 2x +1) + 8 = −3(x +1)2 + 8 ≤ 8.
C = 8 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1 .
VËy: max C = 8 ⇔ x = -1.
* Bµi tËp tù gi¶i.
Bµi tËp 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = x2 + x +1;
b) B = x2 − x +1;
c) C = 2x2 − 20x + 53;
d) D = 2x2 + 3x +1.
Bµi tËp 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = −x2 + x +1;
b) B = −x2 − x +1;
c) C = −2x2 − 20x + 53;
d) D = −2x2 + 3x +1;
e) B = −5x2 − 4x +1.
D¹ng 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng ®a thøc
bËc cao.
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: Ta th−êng t×m c¸ch biÕn ®æi biÓu thøc ®· cho vÒ d¹ng 1
b»ng c¸ch ®Æt Èn phô thÝch hîp.
VÝ dô 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = (x2 + x +1)2 ;
b) B = x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4;
c) C = (x −1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) .
Gi¶i.
a) MÆc dï A ≥ 0 nh−ng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A kh«ng ph¶i b»ng 0 v×
x2 + x +1≠ 0,∀x∈R .
1
3
1
3 3
x2 + x +1= (x2 + x + ) + = (x + )2 + ≥
Ta cã:
.
4
4
2
4 4
Do ®ã: Amin ⇔ (x2 + x +1)min
.
3
9
1
VËy: minA = ( )2 = ⇔ x = − .
4
16
2
b) Ta cã: B = x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4
= x2 (x2 − 4x + 4) + (x2 − 4x + 4)
= x2 (x − 2)2 + (x − 2)2 ≥ 0.
x = 0
x = 2
x = 2
⎧
⎪
⎨
⎩
⎡
⎢
B = 0 ⇔
⇔
Mµ:
x = 2.
⎣
⎪
Do ®ã: min B = 0 ⇔ x = 2.
c) C = (x −1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
= [(x −1)(x + 6)].[(x + 2)(x + 3)]
= (x2 + 5x − 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 − 36 =[x(x + 5)]2 − 36 ≥ −36 .
x = 0
⎡
.
C = −36 ⇔ x(x + 5) = 0 ⇔
⎢
x = −5
⎣
x = 0
⎡
VËy:
.
minC = −36 ⇔
⎢
x = −5
⎣
* Bµi tËp tù gi¶i – Bµi tËp 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) M = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + 9;
b) N = x(x − 3)(x +1)(x + 4) ;
c) P = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x +1;
d) Q = (x2 − x)(x2 + 3x + 2) .
D¹ng 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng ®a thøc
cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
Ph−¬ng ph¸p gi¶i.
Dïng mét trong c¸c tÝnh chÊt sau:
3) a ≥ 0. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0.
4) a ≥ a. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a ≥ 0.
5) - a ≤ a ≤ a . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0.
6) a + b ≤ a + b . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi ab ≥ 0.
VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = 2x + 2x − 5 ;
b) B = x −1 + x − 3 ;
c) C = x −1 + x − 2 + x − 3 .
Gi¶i.
a) ¸p dông tÝnh chÊt 4, ta cã:
A = 2x + 2x − 5 = 2x + 5 − 2x ≥ 2x + 5 − 2x = 5.
5
A = 5 ⇔ 5 − 2x ≥ 0 ⇔
.
x ≤
2
5
VËy: min A = 5 ⇔
.
x ≤
2
b) ¸p dông tÝnh chÊt 6, ta cã:
B = x −1 + x − 3 = x −1 + 3 − x ≥ x −1+ 3 − x = 2.
B = 2 ⇔ (x −1)(3 − x) ≥ 0 ⇔1≤ x ≤ 3.
VËy: min B = 2 ⇔ 1≤ x ≤ 3.
c) ¸p dông tÝnh chÊt 6 vµ tÝnh chÊt 3, ta cã:
+) x −1 + x − 3 = x −1 + 3 − x ≥ x −1+ 3 − x = 2.
DÊu b»ng x¶y ra khi (x −1)(3 − x) ≥ 0 ⇔1≤ x ≤ 3.
+) x − 2 ≥ 0 vµ dÊu b»ng x¶y ra khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2.
Do ®ã: C = x −1 + x − 2 + x − 3 ≥ 2 + 0 = 2. DÊu b»ng x¶y ra khi x = 2.
VËy: min C = 2 ⇔ x = 2.
* Bµi tËp tù gi¶i – Bµi tËp 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a) A = x + x −1 ;
2
b)
;
B = 4x + 4x − 6 2x +1 + 6
c) C = x − 2 + x − 5 .
D¹ng4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng ph©n thøc
cã tö lµ h»ng sè vµ mÉu lµ tam thøc bËc hai .
Ph−¬ng ph¸p gi¶i. Sö dông tÝnh chÊt 9:
1 1
a ≥ b, ab > 0 ⇒ ≤ . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b.
a b
3
VÝ dô 6. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M =
.
4x2 − 4x + 5
Gi¶i.
3
3
+) Ta cã: M =
=
.
4x2 − 4x + 5 (2x −1)2 + 4
3
3
Mµ: (2x −1)2 ≥ 0 ⇒ (2x −1)2 + 4 ≥ 4 ⇒ M =
≤ .
(2x −1)2 + 4
4
3
1
2
+)
.
M = ⇔ x =
4
3
1
2
VËy: max
.
M = ⇔ x =
4
* Chó ý. Víi biÓu thøc d¹ng nµy, cÇn l−u ý häc sinh tr¸nh sai lÇm sau: LËp luËn
r»ng M cã tö lµ h»ng sè nªn M lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. Ta sÏ thÊy râ sai lÇm
®ã qua bµi gi¶i sau.
1
§Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n thøc A =
, ta lËp luËn:
x2 − 3
1
1
+) x2 ≥ 0 ⇒ x2 − 3 ≥ −3⇒
−1
≤ − .
x2 − 3
3
+) A =
⇔ x = 0 .
−1
3
VËy: max A =
⇔ x = 0.
3
−1
3
Nh−ng ta dÔ dµng nhËn thÊykÕt qu¶ nµy sai, v× víi x = 2 th× A = 1 >
.
1
1
Sai lÇm ë chç: Tõ -3 < 1, kh«ng thÓ suy ra
> , v× -3 vµ 1 kh«ng cïng dÊu.
− 3 1
1 1
Tæng qu¸t: Tõ a < b, chØ suy ra ®−îc > khi a vµ b lµ hai sè cïng dÊu.
a b
* Bµi tËp tù gi¶i – Bµi tËp 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña c¸c biÓu
thøc:
1
a) A =
b) B =
c) C =
;
9x2 − 6x + 7
6
;
4x − x2 − 6
1
;
2x − x2 − 4
3x2 + 6x +10
x2 + 2x + 3
d)
;
D =
x2 −1
x2 +1
e)
.
E =
D¹ng 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng ph©n thøc
cã mÉu lµ b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt.
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A
M(x)
cã d¹ng
, ta viÕt tö thøc M(x) d−íi d¹ng luü thõa cña ax + b, sau ®ã
(ax + b)2
chia tö thøc cho mÉu thøc ®Ó viÕt A d−íi d¹ng tæng c¸c ph©n thøc míi cã tö
thøc lµ h»ng sè cßn mÉu thøc lµ luü thõa cña nhÞ thøc ax + b:
n
p
A = m(x) +
+
.
(ax + b)2
ax + b
1
Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn, ®Æt y =
2, tõ ®ã gi¶i quyÕt ®−îc bµi to¸n.
, ta ®−a ®−îc A vÒ d¹ng 1 hoÆc d¹ng
x2 + x +1
ax + b
VÝ dô 7. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
.
A =
(x +1)2
Gi¶i.
1
ViÕt tö thøc d−íi d¹ng luü thõa cña x + 1, råi ®æi biÕn, ®Æt
ta cã:
y =
x +1
(x2 + 2x +1) − (x +1) +1
(x +1)2
1
1
= 1−
+
A =
(x +1)2
x +1
1
3 3
2
2
=
.
1− y + y = (y − ) + ≥
2
4 4
3
1
Min
.
A = ⇔ y = ⇔ x =1
4
* Bµi tËp tù gi¶i.
2
Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
2x +1
a) A =
;
x2
4x2 − 2x +1
b)
;
B =
x2
x2 − 3x + 3
c)
;
C =
x2 − 2x +1
2x2 − 6x + 5
x2 − 2x +1
d)
.
D =
x
Bµi tËp 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =
.
(x +1)2
D¹ng 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ph©n thøc kh¸c.
VÝ dô 8. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
2x +1
A =
.
x2 + 2
Gi¶i.
+) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta viÕt A d−íi d¹ng:
(x2 + 4x + 4) − (x2 + 2)
2(x2 + 2)
2x +1
4x + 2
A =
=
=
x2 + 2 2(x2 + 2)
(x + 2)2
2(x2 + 2)
1
1 1
=
.
− ≥
2 2
VËy:
min A = − ⇔ x = −2
2
+) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A, ta viÕt A d−íi d¹ng:
2x +1 x2 + 2 − x2 + 2x −1
(x2 + 2) − (x −1)2
=
A =
=
x2 + 2
x2 + 2
x2 + 2
(x −1)2
=
.
1−
≤1
x2 + 2
VËy: maxA =1⇔ x =1.
VÝ dô 9. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
4x + 3
x2 +1
B =
.
Gi¶i.
+) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B, ta viÕt B d−íi d¹ng:
4x + 3 (x2 + 4x + 4) − (x2 +1)
B =
=
x2 +1
x2 +1
(x + 2)2
x2 +1
=
.
−1≥ −1
VËy: minB = −1⇔ x = −2
+) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B, ta viÕt B d−íi d¹ng:
4x + 3 4x2 + 4 − 4x2 + 4x −1
4(x2 +1) − (2x −1)2
=
B =
=
x2 +1
x2 +1
x2 +1
(2x −1)2
=
.
4 −
≤ 4
x2 +1
1
2
VËy:
.
maxB = 4 ⇔ x =
* Bµi tËp tù gi¶i.
Bµi tËp 8.
3 − 4x
1+ x2
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M =
.
3x2 +14
x2 + 2
Bµi tËp 9. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
.
N =
D¹ng 7. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã chøa hai
(hoÆc nhiÒu) biÕn.
VÝ dô 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x2 + y2 - 2(x – y).
Gi¶i.
Ta cã: A = x2 + y2 - 2x + 2y
= (x2 - 2x +1) + (y2 + 2y + 1) – 2
= (x – 1)2 + (y + 1)2 – 2 ≥ 2.
x =1
⎧
⎨
⎩
VËy: min A = 2
.
⇔
y = −1
x
y
VÝ dô 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
víi x > 0, y > 0.
B = +
y x
Gi¶i.
x2 + y2
x2 + y2
x
y
− 2 + 2
Ta cã:
=
=
B = +
y x
xy
xy
x2 + y2 − 2xy
(x − y)2
+ 2
+ 2 ≥ 2
=
=
(v× x > 0, y > 0).
xy
xy
VËy: min B = 2 ⇔ x = y.
VÝ dô 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
C = x6 + y6 biÕt x2 + y2 =1.
Gi¶i.
Ta cã: C = x6 + y6 = (x2 )3 + (y2 )3 = (x2 + y2 )(x4 − x2y2 + y4 ).
V× x2 + y2 =1 nªn C = x4 − x2y2 + y4 = (x2 + y2 )2 − 3x2y2
= 1− 3x2y2 ≤1.
DÊu b»ng x¶y ra khi x2y2 = 0 ⇔ x = 0 hoÆc y = 0.
Tải về để xem bản đầy đủ
16 trang
10/02/2025
130
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_phuong_phap_tim_gia_tri_nho_nhat_gia_tri_lon_nhat_cua_m.pdf
