SKKN Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai
Sáng kiến được tôi viết với mục đích truyền thụ cho các em phương pháp, cách thức học tập môn toán đơn giản, dễ hiểu nhất. Giúp các em thành công trong học tập, đạt kết quả cao trong các kì thi vào trung học phổ thông, kì thi học sinh giỏi. Và đặc biệt mang đến cho các em một hành trang vững chắc để các em có thể vững bước trong cuộc sống sau này và trở thành những những chủ nhân tương lai của đất nước vừa có tâm, có tài, có tầm nhìn khoáng đạt. Và nói theo cách nói của nhà văn huyền thoại Sôlôkhôp trong phần kết của truyện ngắn nổi tiếng “Số phận con người” thì: Những người này thì dù ở đâu, giữ cương vị gì thì họ cũng sẽ đóng góp tích cực, góp phần thúc đẩy sự phát triển của đất nước Việt Nam thân yêu của chúng ta!
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một trong những khái niệm trừu tượng nhất mà bộ não con
người phải tư duy. Khả năng đếm, tính toán và sử dụng mối quan hệ giữa các
con số là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của nhân loại. Toán giúp cho
học sinh có tư duy logic rành mạch, điều này mọi ngành nghề của các em sẽ làm
trong tương lai luôn cần tới, chính vì thế mà Toán học rất quan trọng đối với bản
thân mỗi người học. Do đó người giáo viên dạy Toán phải luôn trau dồi về kiến
thức và phương pháp giảng dạy để theo kịp với xu hướng phát triển của bộ môn
và tư duy phát triển của nhân loại. Là một giáo viên dạy Toán của trường trung
học cơ sở bên cạnh việc giảng dạy cho các em về kiến thức cơ bản trong sách
giáo khoa thì việc bồi dưỡng nâng cao cho các học sinh khá giỏi là một nhiệm
vụ quan trọng. Tôi luôn ghi nhớ “Kết thúc đời học sinh chúng em sẽ không nhớ
những thầy cô giáo đã giảng cho những bài toán khó. Học sinh chỉ nhớ những
thầy cô giáo đã khơi gợi, khuyến khích để chúng em có thể tự giải được những
bài toán đó” (Thế giới phẳng - Thomas Friedman); hay một câu khác “Một thầy
giáo vĩ đại là thầy giáo biết truyền cảm hứng”. Là giáo viên dạy toán ngoài việc
tiếp thu kiến thức của bộ môn, của các nhà toán học, tôi luôn phải tìm tòi sáng
tạo những phương pháp giảng dạy phù hợp cho từng đối tượng học sinh để mang
lại cho các em hứng thú học tập và kết quả học tập tốt nhất. Trong những năm
gần đây, qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều dạng toán khó mà để
giải được thì ta phải đưa về dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
Trong chương trình toán trung học cơ sở thì bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
vô cùng quan trọng, đặc biệt là hai hằng đẳng thức đầu tiên:
2
2
2
(A B) =A 2AB+B . Chúng không những giúp cho học sinh phương pháp tính
nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức mà chúng còn được sử dụng
vào các dạng toán khó như: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… và khi biết vận dụng hai hằng đẳng thức này để đưa
các đa thức về “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” thì việc giải các bài
toán đó lại không mấy khó khăn.
Trên thực tế ứng dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” vào giải
các bài toán: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất… chưa có tài liệu nào khai thác đầy đủ ở mọi dạng toán đã nêu ở trên,
trong khi đó các dạng bài tập này luôn được đưa vào trong các đề thi học sinh
giỏi, đề thi vào lớp 10 và đề thi vào các trường chuyên … học sinh muốn giải
được thì phải sử dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai”.
2/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
Từ lí do trên tôi xin phép giới thiệu sáng kiến “Một số dạng Toán ứng
dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai” với hy vọng rằng sẽ giúp ích
được cho quý đồng nghiệp trong quá trình dạy học.
2. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN
Sáng kiến được tôi viết với mục đích truyền thụ cho các em phương pháp,
cách thức học tập môn toán đơn giản, dễ hiểu nhất. Giúp các em thành công
trong học tập, đạt kết quả cao trong các kì thi vào trung học phổ thông, kì thi học
sinh giỏi. Và đặc biệt mang đến cho các em một hành trang vững chắc để các em
có thể vững bước trong cuộc sống sau này và trở thành những những chủ nhân
tương lai của đất nước vừa có tâm, có tài, có tầm nhìn khoáng đạt. Và nói theo
cách nói của nhà văn huyền thoại Sôlôkhôp trong phần kết của truyện ngắn nổi
tiếng “Số phận con người” thì: Những người này thì dù ở đâu, giữ cương vị gì
thì họ cũng sẽ đóng góp tích cực, góp phần thúc đẩy sự phát triển của đất nước
Việt Nam thân yêu của chúng ta!
Bên cạnh đó tôi cũng mong muốn rằng những kinh nghiệm của mình được
thể hiện trong sáng kiến có thể góp một phần nào đó giúp các đồng nghiệp của
mình những kinh nghiệm nhất định trong giảng dạy.
Là một người giáo viên việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một nhiệm vụ
vô cùng quan trọng với ngành giáo dục và với nhà trường. Bên cạnh đó việc viết
sáng kiến kinh nghiệm là một hình thức tự rèn luyện trau dồi thêm về chuyên
môn nghiệp vụ về phương pháp để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy.
Và đó cũng là trách nhiệm của mỗi chúng ta đối với sự phát triển của ngành giáo
dục và sự phát triển của đất nước.
3. NHIỆM VỤ CỦA SÁNG KIẾN
Nghiên cứu cơ sở lí luận của phương pháp dạy học Toán theo định hướng
hình thành và phát triển năng lực người học.
Xây dựng phương pháp học Toán theo định hướng hình thành và phát triển
năng lực của học sinh. Truyền thụ cho học sinh những phương pháp, khả năng
tư duy lôgic của Toán học góp phần nâng cao thành tích giáo dục của học sinh
nói riêng và nhà trường nói chung.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm trong nhà trường.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Những cơ sở lý luận để nghiên cứu giải pháp. Thực trạng học và giải các
dạng toán của học sinh.
Những giải pháp rèn luyện kĩ năng giải “Một số dạng Toán ứng dụng
dạng toàn phương của đa thức bậc hai” cho học sinh lớp 8, 9 đạt kết quả cao
trong các kì thi.
3/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
5. Đối tượng nghiên cứu:
Các dạng toán: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức.
Các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10, đề thi vào trường chuyên lớp
chọn.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu trong các sách bồi dưỡng, sách nâng cao và
phát triển, các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 và các đề thi vào các trường
chuyên lớp chọn, nghiên cứu trên mạng internet, nghiên cứu qua đồng nghiệp …
Nghiên cứu thực nghiệm: Tiến hành soạn giảng giáo án và dạy thực
nghiệm trên học sinh lớp 8A, 8B trong trường tôi công tác và dạy cho các đội
tuyển học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 và thi vào các trường chuyên lớp
chọn
Phân tích đối chiếu: Phân tích đối chiếu yêu cầu giữa chuẩn kiến thức,
chuẩn kĩ năng đối với học sinh lớp 8, 9 bậc trung học cơ sở với những bài kiểm
tra, khảo sát của học sinh, tìm ra những hạn chế chủ yếu của các em khi Giải
phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Đưa ra những giải pháp để giáo viên vận dụng vào việc rèn luyện kĩ năng
sử dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” cho học sinh nhằm phát huy
khả năng tư duy, sáng tạo, của các em học sinh.
7. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 6 năm 2015
4/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cho học sinh, sau khi học xong hai
hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” và “Bình phương của một hiệu” thì
việc ứng dụng hai hằng đẳng thức đó vào việc giải các loại bài tập: Giải phương
trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất … luôn có tần
suất cao nhất trong bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ, chính vì vậy học sinh cũng
thuộc hai hằng đẳng thức này một cách nhanh nhất, nhiều nhất và nhớ lâu nhất.
Thực tế càng về gần đây những bài tập giải phương trình, chứng minh bất
đẳng thức, tìm cực trị của một đa thức bậc hai và những đa thức được quy về đa
thức bậc hai xuất hiện ngày càng nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển
sinh vào lớp 10 và thi vào các trường chuyên lớp chọn … ngoài những bài tập
có thể giải theo các phương pháp cơ bản đã được giới thiệu trong sách giáo khoa
thì có rất nhiều các bài tập khó không thể áp dụng ngay dạng cơ bản được và khi
đó “Dạng toàn phương của một đa thức bậc hai” là một ứng dụng vô cùng
hữu hiệu.
Các dạng tổng quát mà học sinh cần nhớ để giải toán.
1.1. Hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của
một hiệu.
2
A2 2AB B2 A B
2
A2 2AB B2 A B
1.2. Dạng toàn phương của một đa thức
Tổng quát :
2
2
2
Một đa thức bậc hai viết ở dạng a1A12 a2A2 a3A3 ... anAn c trong
đó a1;a2 ;a3;...;an ;c là các số thực, còn A1;A2 ;A3;...;An là các đa thức chứa biến
ta gọi là dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
1.3. Giải phương trình
A 0
1
A 0
2
2
2
2
Tổng quát : a A 2 a A a A ... a A 0
1
1
2
2
3
3
n
n
....
An 0
Trong đó a1,a2 ,a3,...,an là các số thực cùng dấu.
1.4. Chứng minh bất đẳng thức
2
2
2
Tổng quát : a1A12 a2A2 a3A3 ... anAn c c
5/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
Trong đó : a1,a2 ,....,an ,cR;a1,a2 ,....,an 0 và A1,A2 ,...,An là các đa thức
chứa biến.
A 0
1
A 0
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
....
An 0
1.5. Tìm cực trị của một đa thức bậc chẵn
1.5.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc chẵn
2
2
2
Tổng quát: A a1A12 a2A2 a3A3 ... anAn c c
Trong đó : a1,a2 ,....,an ,cR;a1,a2 ,....,an 0 và A1,A2 ,...,An là các đa thức
chứa biến.
A 0
1
A 0
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
....
An 0
=> Giá trị nhỏ nhất của đa thức A là c
1.5.2. Tìm giá trị lớn nhất của một đa thức bậc chẵn
2
2
2
Tổng quát: A a1A12 a2A2 a3A3 ... anAn c c
Trong đó : a1,a2 ,....,an ,cR;a1,a2 ,....,an 0 và A1,A2 ,...,An là các đa thức
chứa biến.
A 0
1
A 0
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
....
An 0
=> Giá trị lớn nhất của đa thức A là c
6/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
CHƯƠNG 2
THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Từ xưa đến nay Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn Toán luôn được
các cấp quản lí quan tâm chỉ đạo một cách sát sao. Vì vậy, về cơ bản đa số giáo
viên nắm chắc phương pháp, vận dụng sáng tạo với tình hình thực tế và đối
tượng học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số giáo viên chưa tích cực nghiên cứu,
chưa tìm ra phương pháp dạy học đạt hiệu quả dẫn đến chất lượng học tập của
học sinh chưa được nâng lên, nhất là chất lượng các bài tập nâng cao dạng giải
phương trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị của một đa thức.
Từ thực trạng đó, trong quá trình giảng dạy của bản thân cũng như của
đồng nghiệp, tôi xin đưa ra những hạn chế trong phương pháp giảng dạy của
giáo viên và phương pháp tự học, tự nghiên cứu của học sinh như sau:
2.1. Đối với giáo viên:
Giáo viên ít nghiên cứu sách tham khảo, sách nâng cao và phát triển, các đề
thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn các câu cuối của các đề thi vào
lớp 10 hàng năm.
2.2. Đối với học sinh:
Học sinh thường lười đọc sách tham khảo, lười tư duy sáng tạo và suy nghĩ
theo kiểu lối mòn, chỉ nhớ được vài phương pháp cơ bản trong sách giáo khoa,
học bài nào biết bài đấy. Do vậy khi gặp các bài tập khó như câu cuối của các đề
thi vào lớp 10, trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn.
không áp dụng được các phương pháp thông thường là học sinh đi vào bế tắc và
không tìm ra cách làm.
Chính vì vậy điểm thi của các em trong các kì thi vào lớp 10 hàng năm còn
rất ít điểm tối đa. Kết quả thi học sinh giỏi hàng năm còn thấp, chưa có giải cao.
Tỉ lệ học sinh đỗ vào các trường chuyên lớp chọn còn ít.
2.3. Đối với thực tế
Trong sách giáo khoa và các sách tham khảo thì chưa có tài liệu nào khai
thác đầy đủ và toàn diện về các dạng toán: Giải phương trình, chứng minh bất
đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… trong khi đó thì hàng năm các dạng
toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi: vào lớp 10, thi học sinh giỏi
và thi vào trường chuyên lớp chọn.
7/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ DẠNG TOÀN PHƯƠNG CỦA ĐA THỨC BẬC HAI
3.1. Dạng toàn phương của đa thức
3.1.1. Tổng quát :
2
2
2
Một đa thức bậc hai viết ở dạng a1A12 a2A2 a3A3 ... anAn c trong
đó a1;a2 ;a3;...;an ;c là các số thực và A1;A2 ;A3;...;An là các đa thức chứa biến ta
gọi là dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
3.1.2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương
a) A x2 8x 15
b) B 3x2 5x 1
c) C 2x2 3x 4
Giải:
a) A x2 8x 15 x2 2x.4 42 1 (x 4)2 1
5
1
5 25 13
B 3x2 5x1 3 x2 x 3 x2 2x.
3
3
6 36 36
b)
c)
2
2
5
6
13
36
5
6
13
12
3 x
3 x
3
3 9 41
C2x2 3x42 x2 x2 2 x2 2x.
2
4 16 16
2
2
3
4
41
3
4
41
8
2 x
2 x
16
Ví dụ 2. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương:
A x2 4xy 5y2 10x 22y 28
Giải:
A x2 4xy 5y2 10x 22y 28 x2 4xy 10x 5y2 22y 28
x2 2x(2y 5) (2y 5)2 (2y 5)2 5y2 22y 28
(x 2y 5)2 y2 2y 1 2 (x 2y 5)2 (y 1)2 2
Ví dụ 3. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương: B x2 y2 xy x y
Giải:
B x2 y2 xy x y
x2 xy x y2 y
2
2
y 1
y 1
y 1
x2 2x.
y2 y
2
2
2
8/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
2
2
y 1
3
4
1
1
y 1
3
4
2
1
9
1
3
B x
y2 y x
y2 y
2
2
4
2
3
2
2
y 1
3
4
1
3
1
3
y
x
2
* Nhận xét: Để đưa một đa thức bậc hai về dạng toàn phương ta sử dụng
hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Trước hết ta chọn một
biến để đưa về hằng đẳng thức( bình phương của một tổng hoặc một hiệu) chứa
biến đó, phần còn lại của đa thức ta lại làm như vậy với biến thứ hai và cứ tiếp
tục làm như vậy đến khi hết các biến có trong đa thức.
Ví dụ 4. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương:
C x2 5y2 3z2 4xy 2yz 2xz 6x 16y 20z 41
Giải:
C x2 5y2 3z2 4xy 2yz 2xz 6x 16y 20z 41
x2 4xy 2xz 6x 5y2 3z2 2yz 16y 20z 41
x2 2x(2y z 3) (2y z 3)2 (2y z 3)2 5y2 3z2 2yz 16y 20z 41
(x 2y z 3)2 y2 2yz 4y 2z2 14z 32
(x 2y z 3)2 y2 2y(z 2) (z 2)2 (z 2)2 2z2 14z 32
(x 2y z 3)2 (y z 2)2 z2 18z 81 53
=(x 2y z 3)2 (y z 2)2 (z 9)2 53
Ví dụ 5. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương:
D 3x2 5y2 40z2 41t2 6xy 18xz 12xt 26yz 24yt 70zt 6x 14y 64z 90t 88
Giải:
2
2
D3x 5y 40z2 41t2 6xy18xz12xt26yz24yt70zt6x14y64z90t88
2
2
=3x 6xy18xz12xt6x5y 40z2 41t2 26yz24yt70zt14y64z90t88
2
2
3x 6x(y3z2t1)3(y3z2t1)2 2y 8yz12yt8y13z2 34zt46z29t2 78t85
2
2
=3 x 2x(y3z2t1)(y3z2t1)2 2y 8yz12yt8y13z2 34zt46z29t2 78t85
3(xy3z2t1)2 2y 4y(2z3t2)2(2z3t2)2 5z2 10zt30z11t2 54t77
3(xy3z2t1)2 2y 2y(2z3t2)(2z3t2)25z2 10zt30z11t2 54t77
=3(xy3z2t1)2 2(y2z3t2)2 5z2 10z(t3)5(t3)2 6t2 24t32
3(xy3z2t1)2 2(y2z3t2)2 5z2 2z(t3)(t3)26(t2 4t4)8
3(xy3z2t1)2 2(y2z3t2)2 5(zt3)2 6(t2)2 8
3.2. Giải phương trình
2
2
3.2.1. Tổng quát :
9/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
A 0
1
A 0
2
2
2
2
a A 2 a A a A ... a A 0
1
1
2
2
3
3
n
n
....
An 0
Trong đó a1,a2 ,a3,...,an là các số thực cùng dấu.
3.2.2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Giải phương trình x2 y2 z2 t2 1 x(y z t 1)
( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2003 - 2004)
Giải:
x2 y2 z2 t2 1 x(y z t 1)
x2 y2 z2 t2 1 x(y z t 1) 0
2
2
y z t 1
y z t 1
y z t 1
x2 2x
y2 z2 t2 1 0
2
2
2
2
y z t 1
3
4
y(z t 1)
3
4
zt z t
3
4
3
x
y2
z2
t2 0
2
2
2
4
2
2
2
y z t 1
3
z t 1
z t 1
3
z t 1
3
4
zt z t
3
4
3
4
2
2
2
x
y
2y
z
t
0
2
4
3
3
4
3
2
2
2
y z t 1
3
4
z t 1
2
z(t 1) t
2
3
2
x
y
z2 2
t2 0
2
3
3
3
3
2
2
2
2
y z t 1
3
z t 1
2
3
z(t 1)
t 1 2 t 1
2
2t
2
x
y
z2 2
t2 0
2
4
3
2
2
3
2
3
3
3
2
2
2
yzt 1
3
zt 1
2
t 1
1
1
x
y
z
t2 t 0
2
4
3
3
2
2
2
2
2
2
2
yzt 1
3
zt 1
2
t 1
2
1
x
y
z
t 1 0
2
4
3
3
2
2
y z t 1
x
0
y z t 1
x
y
z
0
2
2
2
z t 1
z t 1
0
y
z
0
x 2
3
3
y z t 1
2
t 1
0
t 1
2
0
2
t 1 0
2
t 1 0
10/32
“Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
Phương trình có nghiệm (x;y;z;t) = (2;1;1;1)
Cách khác:
x2 y2 z2 t2 1 x(y z t 1)
x2 y2 z2 t2 1 x(y z t 1) 0
4x2 4y2 4z2 4t2 4 4xy 4xz 4xt 4x 0
x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t2 x2 4x 4 0
(x 2y)2 (x 2z)2 (x 2t)2 (x 2)2 0
(x 2y)2 0
x 2y 0
x 2z 0
x 2t 0
x 2 0
(x 2z)2 0
(x 2t)2 0
x 2
y z t 1
2
(x 2) 0
Ví dụ 2. Giải phương trình( ẩn a, b, c, d, e, f)
3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 ab bc cd de ef f
7
( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Khánh Hoà 2004 - 2005)
Giải:
3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 ab bc cd de ef f
7
3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 ab bc cd de ef f 0
7
Đưa vế trái của phương trình về dạng toàn phương ta được phương trình
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
3
5
4
3
5
7
6
7
a b b c c d d e e f
f
0
2
4
3
3
4
4
8
5
5
6
12
1
2
3
5
6
a b b c c d d e e f f 0
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1
7
f = ; e = ; d = ; c = ; b = ; a =
7
7
7
7
7
1 2 3 4 5 6
; ; ; ; ;
7 7 7 7 7 7
Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm
Ví dụ 3. Giải phương trình 5x2 9y2 12xy 24x 48y 80 0
( Đề thi sinh vào lớp 10 chuyên, Trường THPT Lê Hồng Phong,
Thành phố Hồ Chí Minh 2004 - 2005)
Giải:
5x2 9y2 12xy 24x 48y 80 0
11/32
Tải về để xem bản đầy đủ
31 trang
25/09/2024
790
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_dang_toan_ung_dung_dang_toan_phuong_cua_da_thuc.doc
