SKKN Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - Si
Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOHÀNỘI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KỸ THUẬT
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI
Lĩnh vực: Toán
Cấp học: Trung học cơ sở
Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường
Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, Quận Đống Đa
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Năm học 2018 - 2019
MỤC LỤC
Trang
I.Lý do chọn đề tài........................................................................................ 1
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài................................................................. 1
III. Phạm vi của đề tài .................................................................................. 1
IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành ................................... 1
Chương 1. GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI
1. Bất đẳng thức Cô-si ................................................................................. 2
2. Những quy tắc chung................................................................................ 3
Chương 2. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI
1.Kỹ thuật 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân .......... 4
2. Kỹ thuật 2: Kỹ thuật tách nghịch đảo................................................ 6
3. Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi................................................... 7
4 .Kỹ thuật 4: Kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC.............................. 11
5. Kỹ thuật 5: Kỹ thuật nhân thêm hằng số ........................................... 12
6 . Kỹ thuật 6: Kỹ thuật ghép đối xứng ................................................. 15
7. Kỹ thuật 7: Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số .................. 16
8. Kỹ thuật 8: Kỹ thuật đổi biến số ...................................................... 18
Kết luận và khuyến nghị............................................................................... 20
Tài liệu tham khảo
1/20
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng đã giúp người học,
người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối
với những học sinh trung học cơ sở, toán học đã hình thành cho các em những
kiến thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua
những bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp
các em hình thành tư duy toán học.
Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòi hỏi trí thông minh, óc tư duy linh
hoạt của người học, trong đó bất đẳng thức (BĐT) là vấn đề hay và khó. Từ các
lớp trung học cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng
thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học
bất đẳng thức, ai cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng
thức Cô-si. Nhưng một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận
dụng bất đẳng thức Cô - si vào giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì vậy,
để giúp học sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tôi viết đề tài
"Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si"
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài
Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" sẽ giới thiệu đến
với học sinh về bất đẳng thức Cô – si và một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức
Cô-si. Bên cạnh đó, đề tài cũng chỉ ra những sai lầm thường gặp khi học sinh sử
dụng bất đẳng thức Cô – si.
Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên
cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài
còn giới thiệu những bài toán minh họa, áp dụng các kỹ thuật được giới thiệu.
III. Phạm vi của đề tài
Với học sinh trung học cơ sở, lớp 8 các em mới được giới thiệu và tiếp cận
với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cô -si nói riêng. Vì vậy, đề tài
"Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học
sinh lớp 8; lớp 9 có được những kiến thức về bất đẳng thức Cô-si và một số kỹ
thuật sử dụng từ đó giúp cho các em phát triển tư duy về bất đẳng thức, đặt nền
móng cho các cấp độ lớn hơn sau này.
IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành
Đề tài tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức Cô-si. Trên cơ sở những kiến
thức cơ bản về dạng bất đẳng thức, tổng kết một kỹ thuật thường dùng.
Phương pháp chủ yếu của đề tài là phương pháp nghiên cứu và tổng kết
kinh nghiệm trong thực tế giảng dạy.
3/23
Chương 1. GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI
1. Bất đẳng thức Cô – Si (CAUCHY)
1.1.Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 ……..xn ≥ 0 ta có:
x x2 ......xn
1
n
Dạng 1:
Dạng 2:
x x2...........xn
1
n
n
x1 x2 ......xn n x1 x2...........xn
n
x x ......x
n
1
2
Dạng 3:
x1 x2...........xn
n
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:
x x2 ............ xn
1
Hệ quả 1:
n
S
n
Nếu: x x ........ xn S const thì: Max P x x ............x
n
1
2
1 2
S
n
khi
x x2 ............ xn
1
Hệ quả 2:
Min S x x ......... x nn P
Nếu: x x .................xn P const thì:
1 2
1
2
2
khi x x2 ............ xn n P
1
1.2.Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ):
n = 2: x, y ≥ 0 khi đó:
n = 3: x, y, z ≥ 0 khi đó:
x y
2
x y 2 xy
x y z
3
xy
xyz
1.2.1
1.2.2
3
3
x y z 3 xyz
2
3
x y
2
x y z
1.2.3
xy
xyz
3
2
3
1.2.4
1.2.5
x y 4xy
1 1
x y x y
x y z 27xyz
1 1 1
x y z x y z
4
9
1
xy
4
x y
1
xyz
4
1.2.6
2
3
x y z
Bình luận:
Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân
(TBN).
Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận
dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có
cả căn thức.
4/23
2. Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng
thức Cô – Si:
Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử
dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được
kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp
ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp
giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn
luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các
kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu
bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo
trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả
một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay
mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý
đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là
điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng
được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến
tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn
nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.
Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của
các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến
đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu
“ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.
Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh:
đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại
Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực
sự hiểu được các quy tắc trên qua các ví dụ và bình luận ở phần sau.
5/23
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI
1. Kỹ thuật 1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng
sang tích.
a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2 a,b,c
Bài 1: Chứng minh rằng:
Giải
Sai lầm thường gặp:
Sử dụng: x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó:
2
2
a b 2ab
b2 c2 2bc
c2 a2 2ca
a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2 a,b,c
(Sai)
2 2
3 5
4 3
Ví dụ:
24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ 2 x y = 2|xy| ta có:
2
2
2
2
a b 2 ab 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(Đú
b c 2 bc 0
c2 a2 2 ca 0
a b b c c a 8|a b c | 8a b c a,b,c
ng)
Bình luận:
Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi
và chỉ khi các vế cùng không âm.
2
2
Cần chú ý rằng: x2 + y2 ≥ 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay
dương.
Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên
mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng
BĐT Cô Si.
Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi
ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số, 3 cặp số.
8
Bài 2 : Chứng minh rằng: a b 64ab(ab)2 a,b ≥ 0
Giải
2 4
4
8
4
CôSi
2
a b a b
a b 2 ab
2 2 a b ab 24.22.ab. a b
64ab(ab)2
6/23
Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab a, b ≥ 0.
Giải
3
3
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥
Bình luận:
3 1.a.b. 3. a.b.ab 9ab
9 = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện
ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến
đó.
Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 a, b ≥ 0
Giải: Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 33a3b3 = 9ab2
Bình luận:
Côsi
9ab2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3
để khi áp dụng BĐT Cô-si ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc
tách các hệ số không có gì khó khăn.
a,b,c,d 0
1
81
Bài 5: Cho:
CMR: abcd
1
1
1
1
3
1a 1b 1c 1d
Giải
Từ giả thiết suy ra:
Côsi
3
1
1 a
1
1b
1
1c
1
1 d
b
c
d
bcd
1 -
1
1
=
3
1b 1c 1 d
1b 1c 1d
Vậy:
1
1 a
bcd
3
3
3
3
0
0
0
0
3
3
3
3
1b 1c 1 d
1
cda
1b
1c 1 d 1 a
1
abcd
81
1 a 1b 1c 1 d
1 a 1b 1c 1 d
1
dca
1c
1 d 1c 1 a
1
abc
1 d
1 a 1b 1c
1
abcd
81
Bài toán tổng quát:
Cho:
x1, x2, x3,............., xn 0
1
n 1
CMR: x x2 x3...........xn
1
1
1
1
1 xn
n
1
.........
n1
7/23
1 x 1 x2 1 x3
1
Bình luận:
Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì
việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán
chứng minh BĐT dễ dàng hơn
Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng.
Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo.
2.Kỹ thuật 2: Kỹ thuật tách nghịch đảo.
a b
Bài 1: CMR:
2 a.b 0
b a
Côsi 2
2
a b
a b
b a
Giải Ta có:
b a
a2 2
a2 1
Bài 2: CMR:
Giải
2 aR
a2 1 1
a2 2
a2 1
1
1
Ta có:
a2 1
Côsi 2 a2 1
2
a2 1
a2 1
a2 1
1
Dấu “ = ” xảy ra a2 1
a2 11 a 0
a2 1
1
Bài 3: CMR:
a
3 a b 0
b ab
Giải: Ta có nhận xét: b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b đo đó hạng tử
đầu a sẽ được phân tích như sau:
1
1
1
a
b ab
Côsi 3 b. ab .
3 a b 0
3
b ab
b ab
b ab
1
Dấu “ = ” xảy ra
a = 2 và b = 1.
b ab
b ab
4
Bài 4: CMR:
a
3 a b 0
(1)
ab b1 2
Giải: Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau
khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu. Tuy nhiên biểu thức dưới
mẫu có dạng ab b1 2 (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số 2
là một thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức
bậc nhất đối với b, khi đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các
thừa số của mẫu.
Vậy ta có: ab b1 2 = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a theo 2 cách
sau:
b1 b1
ab
2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 =
2
2
Từ đó ta có (1) tương đương :
8/23
4
b1 b1
4
VT + 1 = a1
ab
ab b1 2
2
2
ab b1 b1
Côsi
b1 b1
4
4. ab .
.
.
4 ĐPCM
4
2
2
ab b1 b1
Bài 5: Bài toán tổng quát:
Cho:
. CMR:
x x2 x3 .............,xn 0 và1kZ
1
n1 k 2
1
a1
n1k2
k
k
k
n1k
a a a a a ............... a a
n
2
3
n
k
1
2
n1
Giải
VT =
1
a a a a a ..... a a
2
3
n
n
k
k
k
1
2
n1
a a a a a ...... a a
n
2
3
n
1
2
n1
a a
a a
a a
a a
n
n
2
2
1
1
1
n1
n1
a
..
..
...
n
k
k
k
k
k
k
k
a a a a .. a a
2
3
n
1
2
n1
k
k
a a
a a
a a
a a
2
2
n
n
1
1
1
n1
n1
n1 k 2 .n1k2 a
..
..
..
.
a a a
a a k .. a a
n
k
k
k
k
k
k
2
3 n
1
2
n1
k
k
n1 k 2
n1k2
n1k
k
Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo
mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn
lại hằng số.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng
buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ
thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN
sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
3. Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Cô-si và
các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ
được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.
1
a
Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a
Giải
1
a
1
a
a
Sai lầm thường gặp của học sinh: S a ≥ 2
=2
1
a
Dấu “ = ” xảy ra a a = 1 vô lí vì giả thiết là a ≥ 2.
Cách làm đúng:
9/23
1
a
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng
BĐT Cô-si dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:
1
1
a
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)
a;
(1)
(2)
(3)
(4)
1
a
a;
1
a
1
2
a,
a
2 1
1
= 4.
a;
a;
2
1 1
a
a 2
a
a 1 3a
4 a 4
a 1 3a
3.2 5
Vậy ta có: S 2
1
.
Dấu “ = ” xảy ra a
4 a 4
4
2
= 2.
Bình luận:
Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để
tìm ra = 4.
Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng BĐT Cô-si
a 1
4 a
3a
4
cho 2 số
và
đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng
,
điểm rơi là a = 2.
1
S a
Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a2
Giải
a 2
2 1
Sơ đồ chọn điểm rơi:
a = 2
= 8.
4
1 1
2
4
a
Sai lầm thường gặp:
1
a 1 7a
a 1 7a
2
8a
7a
8
2
8.2
7.2 2 7 9
MinS
4 4 4
S a
2
.
8
8
8
8
8
a2
a2
a2
9
4
=
Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS = là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã
9
4
2
8a
2
8.2
2
4
mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ 2 thì
là đánh
giá sai.
Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải
biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Cô-si sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
10/23
Tải về để xem bản đầy đủ
23 trang
29/12/2024
210
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - Si", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_ky_thuat_su_dung_bat_dang_thuc_co_si.pdf
