SKKN Sử dụng bất đẳng thức Cô - Si trong giải toán Trung học cơ sở
Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn đẹp hơn.
Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử số
Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử số
Phßng GD& T QuËn
ng a
Tr ng THCS Th i Th nh
-------*****-------
S¸ng kiÕn
kinh nghiÖm
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
TRONG GIẢI TOÁN THCS
MÔN TOÁN
Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường
Giáo viên môn Toán
Năm học 2013 - 2014
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
MỤC LỤC
A – MỞ ĐẦU
Trang
I.Lý do chọn đề tài........................................................................................ 3
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài................................................................. 3
III. Phạm vi của đề tài .................................................................................. 4
IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành ................................... 5
B – NỘI DUNG
1. Những quy tắc chung................................................................................ 5
2. Bất đẳng thức Cô-si ................................................................................. 6
3. Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si ................................................ 8
3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ........................ 8
3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo. ............................................................. 12
3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi ................................................................. 15
3.4 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng .......... 21
3.5 Kỹ thuật nhân thêm hằng số.......................................................... 24
3.6 Kỹ thuật ghép đối xứng................................................................. 30
3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số................................. 33
3.8. Kỹ thuật đổi biến số ..................................................................... 35
4. Một số ứng dụng khác của bất đẳng thức Cô-si ....................................... 38
4.1 Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình ................................. 38
4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si để chứng minh bđt và tìm cực trị hình học. 42
Kết quả của đề tài......................................................................................... 55
Kết luận........................................................................................................ 56
Tài liệu tham khảo........................................................................................ 57
2
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng đã giúp người học,
người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối với
những học sinh trung học cơ sở, toán học đã hình thành cho các em những kiến
thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua những
bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp các em hình
thành tư duy toán học.
Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòi hỏi trí thông minh, óc tư duy linh hoạt
của người học, trong đó bất đẳng thức là vấn đề hay và khó. Từ các lớp trung học
cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng thức, phương
pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học bất đẳng thức, ai
cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng thức Cô-si. Nhưng
một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận dụng bất đẳng thức Cô -
si vào giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Khó khăn đầu tiên là không biết cách sử
dụng bất đẳng thức Cô - si. Khó khăn thứ hai là không biết bất đẳng thức Cô - si có
thể ứng dụng vào việc giải những dạng toán nào? Chính vì vậy, để giúp các em học
sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tôi viết đề tài " Sử dụng bất
đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở"
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài
Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS" sẽ giới thiệu
đến với học sinh về bất đẳng thức Cô - si; những kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức
Cô-si và việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong giải toán THCS.
Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên
cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài còn
3
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
giới thiệu những bài toán minh họa, đặc biệt là những bài toán học sinh thường gặp
về bất đẳng thức, cực trị đại số, cực trị hình học.
III. Phạm vi của đề tài
Với học sinh trung học cơ sở, lớp 8 các em mới được giới thiệu và tiếp cận
với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cô -si nói riêng. Vì vậy, đề tài " Sử
dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS" hướng tới việc giúp cho học
sinh lớp 8; lớp 9 có được những kiến thức về bất đẳng thức Cô-si; cách sử dụng bất
đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở, từ đó giúp cho các em phát triển
tư duy về bất đẳng thức, đặt nền móng cho các cấp độ lớn hơn sau này.
IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành
Đề tài tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức Cô-si. Trên cơ sở những kiến
thức cơ bản về dạng bất đẳng thức, tổng kết một kỹ thuật thường dùng; giới thiệu
một số ứng dụng của bất đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở.
Phương pháp chủ yếu của đề tài là phương pháp nghiên cứu và tổng kết kinh
nghiệm trong thực tế giảng dạy.
4
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
1. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử
dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết
quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta
kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải,
dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho
học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học
sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt
trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử
dụng BĐT Cô Si.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả
một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc
sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến
điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm
rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa
mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến
tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất
nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.
Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các
biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó
bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ”
xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.
5
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh:
đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại
Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực
sự hiểu được các quy tắc trên qua các ví dụ và bình luận ở phần sau.
6
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI
(CAUCHY)
1. Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 ……..xn ≥ 0 ta có:
x + x2 +......xn
1
n
• Dạng 1:
• Dạng 2:
x x2...........xn
1
n
n
x1 + x2 +......xn n x1 x2...........xn
n
x + x +......x
n
1
2
• Dạng 3:
x x2...........xn
1
n
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x = x2 =............= xn
1
Hệ quả 1:
n
S
n
Nếu: x + x2 +........+ xn = S = const thì:
Max P = x x ............x =
(
)
n
1
1 2
S
n
khi x = x2 =............= xn =
1
Hệ quả 2:
Nếu: x1x2.................xn = P = const thì:
Min S = x + x .........+ x = nn P
1
2
2
khi x = x2 =............= xn = n P
1
2. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ):
n = 2: x, y ≥ 0 khi đó:
n = 3: x, y, z ≥ 0 khi đó:
x+ y
2
x+ y+ z
3
2.1
2.2
xy
xyz
3
3
x+ y 2 xy
x+ y + z 3 xyz
2
3
x + y
2
x + y + z
xy
xyz
2.3
3
2
3
)
2.4
2.5
x+ y 4xy
x+ y+ z 27xyz
(
)
(
1 1
+
x y x+ y
4
1 1 1
+ +
x y z x+ y + z
9
7
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
1
xy
4
x + y
1
xyz
4
2.6
2
3
x + y + z
(
)
(
)
Bình luận:
• Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN).
• Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận
dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có
cả căn thức.
8
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI
3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng
sang tích.
a2 +b2 b2 +c2 c2 +a2 8a2b2c2 a,b,c
Bài 1: Chứng minh rằng:
Giải
Sai lầm thường gặp:
Sử dụng: x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó:
2
2
a +b 2ab
b2 +c2 2bc
c2 + a2 2ca
a2 +b2 b2 +c2 c2 +a2 8a2b2c2 a,b,c
(Sai)
2 −2
Ví dụ: 3 −5 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
4 3
Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ 2 x y = 2|xy| ta có:
2
2
2
2
a +b 2 ab 0
b2 +c2 2 bc 0
c2 +a2 2 ca 0
a2 +b2 b2 +c2 c2 +a2 8|a2b2c2| =8a2b2c2 a,b,c (Đúng
)
Bình luận:
•
Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và
chỉ khi các vế cùng không âm.
2
2
•
•
Cần chú ý rằng: x2 + y2 ≥ 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.
Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà
phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT
Cô Si.
9
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS
•
Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý
đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số, 3 cặp số.
8
Bài 2 : Chứng minh rằng: a + b 64ab(a +b)2 a,b ≥ 0
Giải
2 4
4
8
4
CôSi
2
a + b = a + b
= a+b + 2 ab
2 2 a+b ab = 24.22.ab. a+b =
(
)
(
)
(
)
= 64ab(a +b)2
Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab a, b ≥ 0.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 1.a.b. 3.3 a.b.ab =9ab
Bình luận:
•
9 = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba
lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.
Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 a, b ≥ 0
Giải
Côsi
Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 33a3b3 = 9ab2
Bình luận:
•
9ab2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để
khi áp dụng BĐT Cô-si ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách
các hệ số không có gì khó khăn.
a,b,c,d 0
1
81
Bài 5: Cho:
CMR: abcd
1
1
1
1
+
+
+
3
1+a 1+b 1+c 1+d
Giải
Từ giả thiết suy ra:
10
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội
Tải về để xem bản đầy đủ
60 trang
23/12/2024
260
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Sử dụng bất đẳng thức Cô - Si trong giải toán Trung học cơ sở", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_su_dung_bat_dang_thuc_co_si_trong_giai_toan_trung_hoc_c.pdf
