SKKN Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và Parabol cấp Trung học cơ sở
Để đạt được mục tiêu đó, ngoài việc thiết kế chương trình giáo dục phổ thông, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới phương pháp dạy học,… thì việc giúp cho người học có được cơ hội học tập hết chương trình phổ thông, định hướng nghề nghiệp là một trong những việc làm rất quan trọng. Cấp học trung học cơ sở là một trong những cấp học quan trọng trong việc giúp học sinh có cơ hội học tập tiếp theo theo hướng học trung học phổ thông hoặc học nghề.
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
MÃ SKKN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Lĩnh vực/ Môn
Cấp học
: TOÁN
: TRUNG HỌC CƠ SỞ
Người thực hiện : Chức vụ
Đơn vị
: Giáo viên
:
NĂM HỌC 2016 - 2017
1
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
MỤC LỤC
Trang
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1
1
2
2
3
3
1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Nhiệm vụ và mục đích của đề tài
1.3 Phạm vi của đề tài
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và các vấn đề liên
quan
2.2.1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai
2.1.2 Hệ thức Vi-et
3
3
3
4
2.1.3 Một số bài toán về dấu của nghiệm phương trình bậc hai
2.1.4 Qui trình chung để giải bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa hai
nghiệm của phương trình bậc hai
2.1.5 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
3. Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol
4
4
6
3.1 Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol.
7
7
3.2 Dạng 2: Số giao điểm của đường thẳng và parabol
3.3 Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn các điều kiện về tọa độ
giao điểm; vị trí giao điểm
19
4. Bài tập vận dụng
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
22
23
2
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc của Đảng lần thứ XI đã khẳng định
“Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo huớng chuẩn hoá, hiện
đại hoá, xã hội hꢀa , dân chủ hꢀa và hội nhập quốc tế... giáo dục và đào tạo cꢀ sứ
mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, gꢀp phần
quan trọng xây dựng đất nước, xây dựng nền văn hꢀa và con người Việt Nam...”
Để đạt được mục tiêu đꢀ, ngoài việc thiết kế chương trình giáo dục phổ
thông, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới phương pháp dạy học, … thì
việc giúp cho người học cꢀ được cơ hội học tập hết chương trình phổ thông, định
hướng nghề nghiệp là một trong những việc làm rất quan trọng. Cấp học trung học
cơ sở là một trong những cấp học quan trọng trong việc giúp học sinh cꢀ cơ hội
học tập tiếp theo theo hướng học trung học phổ thông hoặc học nghề.
Từ năm học 2006 – 2007 đến nay, Sở GD&ĐT Hà Nội đã lựa chọn phương
án thi vào lớp 10 theo hướng kết hợp thi tuyển với xét tuyển. Đối với phương án
này thì kết quả bài thi môn Toán và Văn được nhân đôi, đꢀng vai trò quan trọng
trong việc quyết định tổng điểm của học sinh. Chính vì vậy, giáo viên luôn trăn trở
việc làm thế nào để luyện cho học sinh của mình đạt điểm cao trong bài thi vào lớp
10. Với vai trò là giáo viên dạy môn Toán ôn thi cho học sinh cuối cấp, tôi nhận
thấy học sinh khá bỡ ngỡ trong bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol.
Bài toán này không chỉ quan trọng trong cấp học trung học cơ sở mà còn rất quan
trọng khi học sinh học toán cấp trung học phổ thông. Chính vì những lí do đꢀ, tôi
viết sáng kiến, kinh nghiệm “Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và
parabol cấp trung học cơ sở”.
3
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
1.2 Nhiệm vụ và mục đích của đề tài
Trước khi thực hiện đề tài, học sinh gặp nhiều khꢀ găp ở những câu hỏi từ
nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao.
Cụ thể, số liệu khảo sát trước khi thực hiện đề tài cho 45 học sinh lớp 9G,
năm học 2015-2016.
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng thấp Vận dụng cao
60% 35%
Tỉ lệ làm đúng
70%
65%
Đề tài “Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung
học cơ sở” với nhiệm vụ giúp học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, kỹ
năng giải quyết các dạng toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cùng các
câu hỏi liên quan. Từ đꢀ, các em tự tin giải quyết các vấn đề liên quan khác.
Đề tài cũng là tài liệu giúp các em học sinh lớp 9 ôn thi vào lớp 10, định
hướng tư duy về bài toán giao điểm của đường thẳng và đường cong cấp trung học
phổ thông.
1.3 Phạm vi của đề tài
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng với đối tượng là học sinh lớp 9. Đề tài là
tài liệu tổng hợp, củng cố kiến thức, phát triển tư duy cho học sinh lớp 9.
4
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và các vấn đề liên quan
2.2.1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Công thức nghiệm
=b2 −4ac
Công thức nghiệm thu gọn
2
Nếu b=2b’ ta cꢀ
' = b' − ac
+) Nếu ’>0, phương trình cꢀ hai
nghiệm phân biệt:
+) Nếu >0, phương trình cꢀ hai
nghiệm phân biệt:
−b'+ '
−b'− '
−b +
2a
−b −
2a
x1 =
;x2 =
x1 =
;x2 =
a
a
+) Nếu ’=0, phương trình cꢀ nghiệm
−b'
+) Nếu =0, phương trình cꢀ nghiệm
−b
kép: x1 = x2 =
2a
x1 = x2 =
kép:
a
+) Nếu ’<0, phương trình vô nghiệm.
+) Nếu <0, phương trình vô nghiệm.
2.1.2 Hệ thức Vi-et : Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) cꢀ hai nghiệm x1 ; x2
−b
a
x1 + x2 =
Ta cꢀ hệ thức Vi-ét :
c
x1.x2 =
a
2.1.3 Một số bài toán về dấu của nghiệm phương trình bậc hai :
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0)
−b
a
c
2
S = x1 + x2 =
; P = x1.x2 =
;
=b −4ac
a
+) Phương trình cꢀ hai nghiệm phân biệt trái dấu a.c<0
0
+) Phương trình cꢀ hai nghiệm phân biệt cùng dấu
P 0
0
P 0
S 0
+) Phương trình cꢀ hai nghiệm dương phân biệt
5
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
0
P 0
S 0
+) Phương trình cꢀ hai nghiệm âm phân biệt
2.1.4 Qui trình chung để giải bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa hai
nghiệm của phương trình bậc hai :
+) Tìm điều kiện để phương trình cꢀ hai nghiệm (hai nghiệm phân biệt)
+) Biến đổi biểu thức của đề bài về biểu thức mới chứa x1 + x2 và x1.x2
+) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình đã cho rồi thay thế vào biểu thức nꢀi
trên.
+) Giải phương trình (bất phương trình) chứa tham số vừa tìm được.
+) Chọn kết quả và trả lời.
2
Chú ý : x2 + x2 = x + x 2 − 2x1.x2
;
x − x 2 = x + x − 4x .x
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2.1.5 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = ax2
Cho (P) :
(d); y = mx + n
Để giải quyết các bài toán về số giao điểm của (P) và (d) ta thường thực hiện theo
các bước sau :
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
ax2 = mx + n ax2 − mx − n = 0 (*)
- Số nghiệm phương trình (*) chính là số giao điểm của (P) và (d) :
(*) cꢀ 2 nghiệm phân biệt (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(*) cꢀ nghiệm kép (d) tiếp xúc với (P).
(*) vô nghiệm (d) và (P) không cꢀ điểm chung.
- Mối quan hệ giữa hoành độ giao điểm chính là mối quan hệ giữa 2 nghiệm của
phương trình (*).
3. Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol
3.1 Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d):
a) (P): y = x2 và (d): y=-x+2
b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4
Giải:
a) (P): y = x2 và (d): y=-x+2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
6
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
x2=-x+2 x2 + x - 2=0
Giải phương trình ta cꢀ x=1; x = -2
x=1 y = 1 A(1;1); x=-2 y = 4 B(-2;4)
Vậy d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(1;1); B(-2;4)
b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
-x2=4x+4 x2 + 4x +4=0
Giải phương trình ta cꢀ nghiệm kép x1=x2=-2
x=-2 y = -4 M(-2;-4)
Vậy d tiếp xúc với (P). Tiếp điểm là M(-2;-4)
Ví dụ 2:(Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014-
2015)
Cho d: y = - x + 6 và (P): y=x2.
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
b) Gọi giao điểm là A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Giải:
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Ta cꢀ phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
x = 2
x2 + x − 6 = 0 x − 2 x + 3 = 0
)(
(
)
x = −3
Với x = 2 , y = 4
Với x= -3, y = 9
Ta cꢀ tọa độ giao điểm của d và (P) là A(2;4); B(-3;9)
b) Tính diện tích tam giác OAB:
Kẻ AH và BK vuông gꢀc với Ox.
7
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
10
y
B
8
6
A
4
2
-5
5
1
K
O
H
x
-2
B
Ta có SAOB=SABKH-SOAH-SOBK=[(4+9).5]:2-(2.4):2-(3.9):2=15 (đvdt)
3.2 Dạng 2: Số giao điểm của đường thẳng và parabol
Ví dụ 1: Cho (P): y = -x2 và (d): y = x + m - 3
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
-x2=x+m-3 x2 + x + m - 3=0 (*)
a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt (*) cꢀ hai nghiệm phân biệt
>0 1 - 4(m-3)>0 m<13/4
b) (d) tiếp xúc với (P) (*) cꢀ nghiệm kép
=0 1 - 4(m-3)=0 m=13/4
(*) cꢀ nghệm kép là x1=x2= -1/2 y = -1/4
Tiếp điểm là M(-1/2;-1/4)
Ví dụ 2: Cho (P) y = -x2 và (d): y = 2(m-1)x - (m+4)
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
-x2=2(m-1)x - (m+4) x2 +2(m-1)x - (m+4)=0 (*)
8
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
2
1
2
19
4
= (m −1)2 + m + 4 = m2 − m + 5 = m −
+
0 m
(*) luôn cꢀ hai nghiệm phân biệt (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho (P) y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết:
a) Tiếp tuyến song song với (d) y = x - 5
b) Tiếp tuyến đi qua A(1;-3)
Giải
a) Gọi (d') y = x + m (m-5) song song với (d) y = x-5 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P):
x2=x +m x2 - x - m=0 (*)
(d') tiếp xúc với (P) (*) cꢀ nghiệm kép
=0 1 + 4m=0 m=-1/4 (tmđk)
Vậy (d')" y = x -1/4
b) Gọi (d'') y = ax + b là tiếp tuyến của (P).
+) A(1;-3) (d") a+ b = -3 b = -3-a (d"): y = ax - 3 - a.
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d") và (P):
x2=ax -3-a x2 - ax +a + 3=0 (*)
(d') tiếp xúc với (P) (*) cꢀ nghiệm kép
= 0 a2 − 4a −12 = 0
Giải pt ta được a = 6; a = -2
Vậy qua A(1;-3) cꢀ hai tiếp tuyến với (P) là (d") y = 6x-9; (d'"): y = -2x-1
3.3 Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn các điều kiện về tọa độ giao
điểm; vị trí giao điểm
Ví dụ 1. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2011-
2012)
Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x- m2+9
1) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục
tung.
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2 = 2x − m2 + 9 x2 − 2x + m2 − 9 = 0 (1)
9
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở
1) Với m = 1, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
x2 − 2x −8 = 0
Phương trình (1):
Δ' = 9
Phương trình cꢀ hai nghiệm x1=-2 y1 = (-2)2 = 4 A(-2;4)
x2=4 y1 = 42 = 16 B(4;16)
2) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung (1) có hai
nghiệm phân biệt trái dấu 1.(m2-9)<0 -3<m<3
Ví dụ 2. Cho (P): y = x2 và d: y = 2(m +1)x − 2m −1
1
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = (0,75 điểm)
2
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung và
cách đều trục tung (0,5 điểm).
Giải.
Phương trình hoành độ giao điểm x2 − 2(m +1)x + 2m +1= 0 (*)
1
x2 −3x + 2 = 0
a) Khi m = , ta cꢀ phương trình
2
Giải phương trình tìm được x1=1; x2=2
Tìm được giao điểm A(1;1); B(2;4)
b) Yêu cầu bài toán (*) cꢀ hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng 0
−1
2
m = −1
2m +1 0
m
m = −1
2(m +1) = 0
Ví dụ 3. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014-
2015)
y = −x2
Cho Parabol (P):
và đường thẳng (d) y = mx - 1
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi x1 và x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
x12.x2 + x22.x1 − x1.x2 = 3
Tìm giá trị của m để
Giải.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt.
10
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
29/12/2024
100
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và Parabol cấp Trung học cơ sở", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_cac_bai_toan_ve_giao_diem_cua_duong_thang_va_parabol_ca.pdf
