SKKN Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học
Mục đích của sáng kiến nhằm rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 9 cách khai thác các ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải toán nhằm nâng cao chất lượng học cho học sinh khắc phục những vướng mắc trong quá trình tìm tòi tìm phương pháp giải bài tập một cách hợp lí. Thông qua đó giúp học sinh biết khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh cao hơn nữa góp phần rèn tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập qua từng bài giảng. Rèn kỹ năng vận dụng quy tắc suy luận, vận dụng khái niệm, tính chất, kỹ năng sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học tìm hiểu bài toán phân tích bài toán và đường lối giải toán.
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
Mục lục
Các ứng dụng của định lý vi-ét
Phần I: Cơ sở xuất phát
1. Đặt vấn đề
2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài.
Phần II: Nội dung - phương pháp.
1. Lý thuyết (Kiến cơ bản và mở rộng)
2. Các ứng dụng của định lý viét
* Các ứng dụng cơ bản.
* Các ứng dụng khác.
Phần III: Các biện pháp thực hiện
Phần IV: Kết quả - bài học kinh nghiệm
Phần V: Kết luận
Năm học 2011-2012
1
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
Ý TƯỞNG
KHAI THÁC
HỆ THỨC
VI-ÉT(SGK)
ĐL VIÉT
ĐẢO
THUẬN
ỨNG DỤNG
PT BẬC
2; 3 VÀ
CÁC
LOẠI
TOÁN
ĐẠI SỐ
MẶT
PHẲNG
TOẠ ĐỘ
VÀ HÌNH
HỌC
SỐ
HỌC
Năm học 2011-2012
2
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN I: CƠ SỞ XUẤT PHÁT
1. Đặt vấn đề
Trong việc dạy học toán, việc giải toán có tầm quan trọng lớn và đã từ lâu là
một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán. Đối với học sinh
ở bậc trung học cơ sở có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc
học toán.
Việc giải toán có nhiều ý nghĩa:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và rèn
luyện kĩ năng kĩ xảo. Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức tốt để dẫn
dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới.
- Đó là hình thức vận dụng kiến thức đã học vào các vấn đề cụ thể, thực tế và
các vấn đề mới.
- Là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra
mình về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh phát triển
trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt.
1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về
phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình toán nói chung cũng như
chương trình toán THCS nói riêng.
2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các
nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của
nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete)
(1540- 1603) tìm ra được mang tên ông: Định lý Vi-vét.
Năm học 2011-2012
3
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc
biệt là nêu lên được nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến
phương trình bậc hai như:
- Tìm tổng và tích các nghiệm của một phương trình bậc hai khi có nghiệm.
- Biết một nghiệm của phương trình bậc hai suy ra nghiệm kia.
- Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trường hợp.
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
- Lập một phương trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trước…
Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò “một chìa khoá” quan trọng
mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phương
trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng như: Chứng minh bất đẳng thức; tìm
cực trị; quan hệ giữa đường thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các; tính giá trị
các biểu thức bậc cao của các nghiệm số…
3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chương trình đại 9 có
ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của một
phương trình bậc 2; nêu được quan hệ định tính, định lượng của các nghiệm số với
các hệ số của phương trình bậc 2. Có thể nói: “Các nghiệm số của phương trình bậc
2 dưới lăng kính của định lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ”.
4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng,
phong phú) các dạng bài tập về phương trình bậc 2 (phương trình qui về bậc hai);
các bài toán có liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc 2; những kỹ thuật
giải phương trình; hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét.
5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây được hứng thú giải bài tập cho
HS, hình thành cho HS những ý tưởng phong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo
cho các em khi giải các bài toán có liên quanđến phương trình bậc hai.
Năm học 2011-2012
4
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
6. Phương trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số
được gắn kết với nhau như hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng
phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ.
7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu
tư duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài toán
trong mối liên hệ sinh động dưới “con mắt động” của sự ràng buộc giữa biến số và
tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lượng học tập môn
toán.
8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó trong
Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì
một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho người dạy, người học một phong
cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phương
pháp dạy học một cách hiệu quả.
9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của người dạy và
người học phần nào còn nhiều sơ sài như chưa khai thác triệt để định lý đảo; các
kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại
bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: “Nghiên cứu khai
thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện
Đại số, Hình học, Số học.”
2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài.
2.1. Mục đích:
Mục đích của sáng kiến nhằm rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 9 cách khai thác
các ứng dụng của định lí Vi- et trong giải toán nhằm nâng cao chất lượng học cho
học sinh khắc phục những vướng mắc trong quá trình tìm tòi tìm phương pháp giải
bài tập một cách hợp lí. Thông qua đó giúp học sinh biết khai thác bài toán nhằm
phát triển tư duy cho học sinh cao hơn nữa góp phần rèn tính tích cực, tự giác, chủ
động, độc lập qua từng bài giảng. Rèn kỹ năng vận dụng quy tắc suy luận, vận
dụng khái niệm, tính chất, kỹ năng sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học tìm hiểu
bài toán phân tích bài toán và đường lối giải toán.
Năm học 2011-2012
5
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Nhiệm vụ
Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu các môn
khoa học khác ở trường cấp II, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Rèn cho học sinh có kỹ năng, kỹ xảo và thói quen giải bài tập giúp học sinh xác
định đựơc với bài toán này ta sử dụng phương pháp nào để giải bài toán? Kiến thức
nào áp dụng để giải bài toán này, có bao nhiêu cách giải và cách nào hay hơn cả, từ
đó khi gặp những bài toán khó học sinh tư duy tìm cách tháo gỡ nhẹ nhàng hơn,
mạch lạc hơn và hiệu quả hơn.
2.3. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng phương pháp lí
luận qua đọc sách giáo khoa, sách hướng dẫn giảng dạy, sách tham khảo, các tạp
chí toán học liên quan đến đề tài. Bên cạnh đó tôi còn sử dụng các phương pháp
khác như: Phương pháp phân tích, tổng hợp so sánh, tổng kết kinh nghiệm từ thực
tế giảng dạy của bản thân, từ đồng nghiệp, đặc biệt từ chuyên đề “Hệ thức Vi – ét
và một số bài toán liên quan” của nhóm toán 9 ở trường tôi để thấy được tác dụng
của đề tài mà tôi nghiên cứu.
2.4. Đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 9 trường Trung học cơ sở Thái Thái
Thịnh - Đống Đa – Hà Nội.
- Các em thuộc lứa tuổi 15 đến 16. Là lứa tuổi hiếu động thích làm người
lớn, thích thể hiện theo phong cách của người lớn, thích khẳng định mình song lại
thiếu sự chín chắn, đôi khi hay hấp tấp, thiếu tính cẩn thận. Tư duy khái quát hoá
và tổng hợp hoá chưa cao nên việc phân tích đầu bài toán còn hạn chế, thiếu tính lô
gíc chặt chẽ. Vì vậy, với học sinh đại trà khi gặp bài toán nâng cao học sinh thường
hay lúng túng nên đôi lúc không tìm được lời giải bài toán. Là người đứng trên bục
giảng giáo viên phải nắm được đặc điểm này của học sinh. Thông qua bộ môn cụ
thể là phân môn Đại số, tôi giúp học sinh có khả năng khai thác bài toán nhằm phát
huy trí thông minh, năng động, phù hợp với khả năng của học sinh khi giải toán.
Từ đó giúp các em học các môn học khác tốt hơn.
Năm học 2011-2012
6
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN II: NỘI DUNG – PHƯƠNG PHÁP
1. LÝ THUYẾT
1. 1. Định lý Viet thuận:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì
− b
a
S = x1 + x2 =
− b
a
x1 + x2 =
(
a 0vµΔ 0
)
c
a
c
a
P = x1 . x2 =
x1.x2 =
* Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0
(*)
c
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 =
a
− c
a
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 =
1.2. Định lý đảo:
x + x = S
1
2
Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn
thì chúng là nghiệm số của phương trình:
x1 .x2 = P
t2 - st + p = 0
(Điều kiện 2 số x1, x2 là s2 - 4p 0)
Chú ý:
* Trước khi áp dụng hệ thức Vi- et cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
a 0
Δ 0(Δ' 0)
* a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1
* Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phương trình
phương trình: t2 - st + p = 0
x + y = S
xy = P
thì , là nghiệm
Năm học 2011-2012
7
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
1.3. Các ứng dụng cơ bản (thường dùng):
a. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2.
b. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2.
c. Biết 1 nghiệm suy ra nghiệm kia
d. Tìm 2 số biết tổng và tích.
e. Lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm
1.4. Một số kết quả thu được từ định lý Viet:
a. Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử:
− b
a
c
Khi (*) có 0 x1, x2 / x1 + x2 =
; x1 . x2 = thì
a
b
c
a x2 + x + = a
x2 −(x1 + x2 )x + x1x2
2
ax + bx + c =
a
a
= a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2)
b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
* Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2
- Nếu S = x1 + x2 (không đổi) còn P = x1 . x2 thay đổi.
S2
Do S2 - 4P 0 P
4
S2
− b S
=
P =
x1 = x2 =
4
2a
2
S2
S
maxP =
x1 = x2 =
(Vì x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép)
4
2
KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau.
- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi)
Còn S = x1 + x2 (thay đổi)
2
S − 2 PS + 2 P
0
Do: S - 4P 0
2 P
2 P
P
S -
0 ; S =
x1 = x2 =
Năm học 2011-2012
8
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
KL: 2 số dương có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
c. Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0)
− b
a
c
S =
;P =
a
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0
Δ 0
P 0
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là
Δ 0
P 0
S 0
- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dương là:
Δ 0
P 0
S 0
- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là:
Δ = 0
S 0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là:
Δ = 0
S 0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là:
x + y = f
(m)
d. Điều kiện của tham số để hệ phương trình:
có 1 nghiệm duy nhất
x.y = g
(m)
là:
f2(m) - 4g(m) = 0
(Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép)
2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT
2.1.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
1. Phương pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet:
Năm học 2011-2012
9
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Trường THCS Thái Thịnh
-
Sáng kiến kinh nghiệm
u + v = S
Nếu 2 số u và v có
thì u và v là nghiệm của phương trình:
u.v = P
t2 - St + P = 0
(1)
Như vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phương trình (Tìm nghiệm của
phương trình đó 2 số cần tìm).
Chú ý:
Nếu S2 - 4P 0 thì tồn tại 2 số.
Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số.
2. Ví dụ:
a. Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a2.
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).
2u + 2v = 6a
uv = 2a2
u + v = 3a
vu = 2a2
Ta có:
Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2.
t2 - 3at + 2a2 = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
2
2
x1 + x2 = 13
b. Tìm phương trình bậc 2 nhận x ; x=2 là nghiệm và
(*)
1
x1x2 = 6
x + x = 5
1
2
2
(x1 + x2 ) −2x1x2 =13
x1 + x2 = −5
Biến đổi hệ (*) ta có:
x1x2 = 6
x1x2 = 6
x + x = 5
1
2
x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 - 5x + 6 = 0
x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 + 5x + 6 = 0
x1 .x2 = 6
x + x = −5
1
2
x1 .x2 = 6
3
3
x + y = 4 (1)
c. Giải hệ phương trình:
xy = 27
(2)
Năm học 2011-2012
10
Giáo viên: Đặng Thị Hương
Tải về để xem bản đầy đủ
60 trang
23/12/2024
320
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_nghien_cuu_khai_thac_dinh_ly_vi_et_va_cac_ung_dung_phon.pdf
