SKKN Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” đã được sử dụng trong giảng dạy ôn thi vào lớp 10 cho học sinh lớp 9 trong các năm học 2016 – 2017; 2017-2018; 2018 – 2019. Học sinh rất hứng thú với các đề vì các yếu tố: Học sinh dễ dàng làm được các câu hỏi cơ bản, nắm được phương pháp giải các câu hỏi phụ, là những câu hỏi khó, mang tính quyết định đạt điểm tối đa bài toán rút gọn trong đề thi.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Lĩnh vực/môn : Toán
Cấp học : Trung học cơ sở
Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường
Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa
Chức vụ: Hiệu trưởng
NĂM HỌC 2019 - 2020
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
MỤC LỤC
Trang
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.Lí do chọn đề tài
2
2
1.2.Nhiệm vụ và mục đích của đề tài
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
3
3
2.1.Bài toán rút gọn biểu thức chứa căn
2.2 Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn
2.2.1. Dạng 1:Tính giá trị của biểu thức biết giá trị của x:
2.2.2 Dạng 2:Tìm x biết giá trị của biểu thức
2.2.3. Dạng 3: Tìm x biết P a;P a;P a;P a
2.2.4. Dạng 4: So sánh giá trị biểu thức với một số a
2.2.5. Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
2.2.6. Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
2.2.7. Dạng 7: Tìm giá trị của tham số m để P thoả mãn một đẳng thức,
một bất đẳng thức:
3
7
7
8
9
10
11
12
13
3. KẾT LUẬN Vꢀ KHUYẾN NGHꢁ
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
Trang 2/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Từ năm học 2006 – 2007 đến năm học 2018-2019, Sở GD&ĐT Hà Nội thực
hiện phương án thi vào lớp 10 theo hình thức kết hợp thi tuyển với xét tuyển. Từ năm
học 2019 – 2020, phương án thi vào lớp 10 là thi tuyển bốn môn: Toán, Ngữ Văn,
Tiếng Anh và môn thứ tư. Với cả hai phương án, kết quả bài thi môn Toán và Văn
được nhân hệ số 2, đóng vai trò quan trọng trong việc quyết định tổng điểm của học
sinh. Chính vì vậy, giáo viên luôn trăn trở việc làm thế nào để ôn luyện cho học sinh
của mình ôn tập một cách có hệ thống, hoàn thiện kiến thức Trung học cơ sở môn
Toán, ngày càng yêu thích môn học đồng thời đạt điểm cao trong bài thi vào lớp 10.
Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán của Hà Nội luôn ổn định với 5 dạng bài: Rút
gọn biểu thức; Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; Phương
trình, hàm số, đồ thị; Hình học; Cực trị. Với những học sinh có lực học chưa tốt, bài
toán rút gọn là một thử thách quan trọng. Hoàn thành được bài toán này học sinh có 2
điểm và tạo tâm lí tốt cho việc thực hiện các bài tập tiếp theo. Tuy vậy, các câu hỏi
phụ của bài toán này ngày một đa dạng và khó. Chính vì vậy, tôi quyết định viết sáng
kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức
chứa căn”
1.2. Nhiệm vụ và mục đích của đề tài
Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” với nhiệm
vụ giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về bài toán rút gọn biểu thức chứa biến,
hình thành phương pháp giải các câu hỏi phụ điển hình, từ đó giúp các em làm tốt bài
thi vào lớp 10 môn Toán, đạt kết quả cao.
Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” thực
hiện việc thuật toán hóa các dạng toán thường gặp liên quan tới biểu thức chứa căn
thức từ đó giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, hình thành kỹ năng và phương pháp
làm bài đúng, đủ yêu cầu.
Trang 3/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
Số liệu khảo sát trước khi thực hiện đề tài (kiểm tra 01 đề rút gọn theo cấu trúc
đề thi vào lớp 10) cho 50 học sinh lớp 9B, năm học 2017 – 2018 và 52 học sinh lớp
9G năm học 2018 – 2019:
Điểm
1-3
3-5
5-8
8-10
Tỉ lệ
30%
40%
30%
0%
Qua khảo sát, học sinh thường mắc nhiều lỗi ở các dạng từ đơn giản đến các
dạng toán mở rộng, đặc biệt nhiều học sinh không biết phương pháp giải toán và
mong muốn biết nguyên nhân giải sai và phương pháp giải các câu hỏi.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng với đối tượng là học sinh lớp 9.
Thời điểm áp dụng: Giai đoạn ôn tập hết chương I – Đại số 9 và giai đoạn ôn
tập thi vào lớp 10.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để học sinh hiểu và giải quyết tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, tôi
thực hiện việc hệ thống hóa theo mức độ nhận thức từ nhận biết, thông hiểu, vận
dụng và vận dụng cao.
2.1.Bài toán rút gọn biểu thức chứa căn
Ở dạng toán này chúng ta nên thuật toán hóa các bước thực hiện cho học sinh.
*) Các bước thực hiện
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
- Đổi dấu (nếu cần).
- Qui đồng mẫu thức các phân thức.
- Thực hiện phép tính trên tử và thu gọn tử.
- Phân tích tử thành nhân tử (và nhân nghịch đảo với phân thức chia nếu có)
- Rút gọn tiếp.
- Tìm điều kiện xác định (đkxđ)
*) Một số hằng đẳng thức hay dùng:
Trang 4/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
x −1= x −1 x +1 ;
x − 4 = x − 2
x + 2
(
)(
)
(
)(
)
x x +1= x +1 x − x +1 ;
x x −1= x −1 x + x +1
(
)(
)
(
)(
)
2
2
x − 4 x + 4 = x − 2 ;x + 6 x + 9 = x + 3
A
A
A −A
=
*) Qui tắc đổi dấu: = −
hoặc
B
−B
B −B
*) Một số bài giải mẫu:
2
x −1
x + 2
x −1
x −2
Bài 1. Rút gọn biểu thức
P =
+
:
−
x −2 2 x − x
x
Bài giải.
Đkxđ: x 0;x 4
Bình luận: Ta nhận thấy ở bài toán
này việc phân tích mẫu thành nhân tử
là đơn giản nhưng phải đổi dấu để
được mẫu chung hợp lí. (dòng thứ 2:
vừa kết hợp đổi dấu mẫu đồng thời đổi
dấu phân thức và phân tích thành nhân
tử, có lẽ nên tách làm 2 bước)
2
x −1
x + 2
x −1
x − 2
P =
P =
+
:
−
x − 2 2 x − x
x
2
x −1
x + 2
x −1
x − 2
−
:
−
x − 2
x
x
x − 2
(
)
x + 2
x − 2 − x x −1
(
)(
)
(
)
2 x − x +1
P =
P =
:
x
x − 2
x
x − 2
(
)
(
)
x +1
x − 2
x −4 − x + x
:
x
x
x − 2
(
)
(
)
x
x − 2
(
)
x +1
x − 2
P =
P =
.
x −4
x
(
)
x +1
x −4
x + 2
x −4
1− x
x
Bài 2.Rút gọn biểu thức
P =
− x :
−
x +1
x +1
Bài giải.
Trang 5/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
x + 2
x −4
1− x
x
P =
P =
− x :
−
x +1
x +1
x + 2 − x x +1
(
)
4 − x
x
:
−
x +1
x +1
x +1
x −1
(
)(
)
Bình luận: ở bài toán này việc
4 − x − x x −1
(
)
phân tích mẫu dựa vào hằng đẳng
x + 2 − x − x
P =
P =
:
x +1
x +1
x −1
(
)(
)
thức x −1= x −1
x +1 và
2 − x 4 − x − x + x
:
việc đổi dẫu ở mẫu của ngoặc thứ
hai là tiến hành đổi dấu mẫu đồng
thời đổi dấu tử.
x +1
x +1
x −1
2 − x
x +1
4 − x
P =
:
x +1
x −1
x −1
(
(
)(
)(
)
x +1
)
2 − x
x +1
P =
P =
.
2 − x 2 + x
(
)(
)
x −1
x + 2
Đkxđ: x 0;x 1;x 4
3 x
x
3x − 5 x
4 − x
2 x −1
x − 2
P =
+
+
:
−1
Bài 3. Rút gọn biểu thức
x + 2
x − 2
Bài giải.
3 x
x
3x − 5 x
4 − x
2 x −1
x − 2
P =
P =
+
+
+
−
:
−1
x + 2
x − 2
3 x
x
3x − 5 x
2 x −1− x + 2
x − 2
:
x + 2
x − 2 ( x − 2)( x + 2)
3 x x − 2 + x x + 2 − 3x + 5 x
(
)
(
)
x +1
x − 2
P =
P =
P =
:
x − 2
x + 2
(
)(
)
3x − 6 x + x + 2 x − 3x + 5 x
x +1
x − 2
:
x − 2
x + 2
(
)(
)
x + x
x +1
x − 2
:
x − 2
x + 2
(
(
)(
)
)
x
x +1
(
)
x − 2
x +1
P =
P =
.
x − 2
x + 2
)(
x
x + 2
Đkxđ: x 0;x 4
Trang 6/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
x +3
x + 2
x + 2
x
Bài 4. Rút gọn biểu thức
P =
+
+
: 1−
x −2 3− x x −5 x +6
x +1
Bài giải.
Bình luận: Bài toán này đã sử dụng
2 kỹ thuật trong việc tách mẫu
thành nhân tử kèm theo đổi dấu
mẫu, bên cạnh đó trong quá trình
rút gọn tử cũng sử dụng những
hằng đẳng thức quen thuộc.
x + 3
x + 2
x + 2
x
P =
+
+
: 1−
x − 2 3 − x x − 5 x +6
x +1
x + 3
x − 2
x + 2
x + 2
x +1− x
x +1
P =
P =
P =
P =
P =
P =
−
+
:
x − 3 ( x − 3).( x − 2)
( x + 3)( x − 3) − ( x + 2)( x − 2) + x + 2
( x − 3).( x − 2)
1
:
x +1
x − 9 − (x − 4) + x + 2
( x − 3).( x − 2)
1
:
x +1
x − 9 − x + 4 + x + 2
1
:
( x − 3).( x − 2)
x − 3
x + 1
.( x + 1)
( x − 3).( x − 2)
x + 1
x − 2
ĐKxđ: x 0;x 4;x 9
Bài 5. Rút gọn biểu thức
Bình luận:
x +1
x −1
x + 2
x +1
x x −1 x + x +1
x +1 x + 2
P =
P =
P =
P =
P =
P =
P =
−
−
Ở bài toán này có thể nhận thấy
những kỹ thuật:
x +1
−
−
( x −1)( x +1) ( x −1)(x + x +1) x + x +1
- Phân tích mẫu thành nhân tử rồi
rút gọn phân thức (phân thức đầu
tiên)
1
x + 2
x +1
−
−
x −1 ( x −1)(x + x +1) x + x +1
x + x +1−(x + 2)−( x +1)( x −1)
( x −1)(x + x +1)
- Sử dụng hằng đẳng thức
x + x +1− x − 2 −(x −1)
( x −1)(x + x +1)
x x −1= x −1 x + x +1
x −1− x +1
( x −1)(x + x +1)
x − x
( x −1)(x + x +1)
− x x −1
(
)
P =
P =
( x −1)(x + x +1)
− x
x + x +1
Trang 7/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
Đkxđ: x 0;x 1
2.2 Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn
2.2.1. Dạng 1:Tính giá trị của P biết giá trị của x:
Ở dạng toán này, chúng ta nên hướng dẫn cho học sinh một số biến đổi của giá trị x
ban đầu:
2
2
2
x = 4 − 2 3 = 3 −1 ;x = 6 + 2 5 = 5 +1 ;x = 7 − 4 3 = 2 − 3
(
)
(
)
(
)
2 2 − 3
2
(
)
2
4 − 2 3
x =
x =
=
=
= 4 − 2 3 = 3 −1
(
)
4 − 3
2 + 3
2 + 3 2 − 3
(
)(
)
2
3− 5 6 − 2 5
5 −1
2
=
=
2
4
Lưu ý: Câu hỏi này chỉ cho điểm tối đa khi kết quả của P đã được khử mẫu hoặc trục
căn thức.
x +1
Bài 1. Tính giá trị của P =
với
biết x = 4 − 2 3
x 0;x 16
Bài giải.
x −4
x = 4 − 2 3 = 3 −1 2 (thỏa mãn điều kiện)
Thay vào P ta có:
2
3 −1 +1
3
3 + 5
(
(
)
(
)
3 −1+1
3 −1−4
3
P =
P =
=
=
=
2
3− 25
3 −5
3 −1 −4
)
3+ 5 3 −3− 5 3
=
−22
22
2
x
Bài 2.Tính giá trị của P =
với
biết
x 0;x 1
Bài giải.
x =
x −1
2 + 3
2
2
(thỏa mãn đk) thay vào P ta có:
x =
P =
P =
= 4 −2 3 = 3 −1
2 + 3
4 − 2 3
3 − 2
3 + 2
3 + 2
(
)(
)
4 − 2 3
4 − 2 3 4 − 2 3
=
=
=
2
3 −1−1
3 − 2
(
)(
)
3 −1 −1
(
)
4 3 + 8 − 6 − 4 3
3− 4
2
=
= −2
−1
Trang 8/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
x +1
x − 2
3− 5
Bài 3. Tính giá trị của P =
với
biết
x 0;x 4
x =
2
Bài giải
2
Bình luận:
3− 5 6 − 2 5
5 −1
2
(tmđk) thay vào
x =
=
=
2
4
Đôi khi cách viết biểu thức cũng quan
trọng không kém. ở bài này ta thấy x
có dạng phân thức. Chính vì thế nên
viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức
không cồng kềnh.
P ta có
2
2
5 −1
2
5 −1
2
P =
+1 :
− 2
5 −1
2
5 −1
2
5 −1+ 2 5 −1− 4
P =
P =
+1 :
− 2 =
:
2
2
5 +1 5 − 5
2
5 +1
2
:
=
.
2
2
5 − 5
5 +1 5 + 5
(
(
)(
)
5 +1
5 − 5
5+ 5 5 + 5 + 5
5− 25
P =
P =
=
=
5 − 5 5 + 5
)(
)
10 + 6 5 −5− 3 5
=
−20
10
2.2.2 Dạng 2:Tìm x biết P = a (a là một giá trị thực)
Bản chất của câu hỏi này là giải phương trình (chứa căn). Vậy phải chú ý:
- Qui đồng và bỏ mẫu
- Đặt x = t và đừng quên đặt điều kiện cho t.
- Tìm được t thoả mãn điều kiện đã đắt.
- Tìm x thông qua t.
x −1
Bài 1. Cho P =
với x 0;x 1;x 4 .Tìm x biết P = − x
x + 2
Bài giải
x −1
P = − x
Đặt x = t
= − x x + 3 x −1 = 0
x + 2
t 0;t 1;t 2
(
)
t2 +3t −1 = 0
Trang 9/17
Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
−3+ 13
t =
t =
2
−3− 13
2
=13>0, Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
(loai)
−3+ 13
−3+ 13
11−3 13
Với t =
x =
x =
(tmdk)
2
2
2
11−3 13
Vậy x =
2
x +1
x −4
Bài 2. Cho P =
với x 0;x 4 . Tìm x biết:
P
x −4 = 2x
Bài giải
x +1
P
x −4 = 2x
x −4 = 2x x +1 = 2x 2x − x −1 = 0
x − 4
t = 1
2
t 0;t 2
2t −t −1 = 0
Đặt x = t
Pt
(
)
1
t = − (loai)
2
Với t = 1
x = 1 x = 1(tmdk)
2.2.3. Dạng 3: Tìm x biết P a;P a;P a;P a (a là một giá trị thực)
Bản chất của câu hỏi này là giải bất phương trình (chứa căn). Vậy phải chú ý:
- Khi giải bất phương trình chỉ được phép bỏ mẫu khi xác định được dấu của mẫu và
chiều của bất phương trình.
- Nghiệm tìm được phải được kết hợp với những điều kiện đã đặt.
x −3
Bài 1.Cho P =
với x 0;x 1;x 4 .Tìm x biết P>1
x − 2
Bài giải
x −3− x − 2
(
)
x −3
x −3
x − 2
P 1
1
−1 0
0
x − 2
−1
x − 2
0 x − 2 0 x 2 x 4
x − 2
0 x 4
x 1
Kết hợp điều kiện xác định ta có:
x +1
Bài 2.Cho P =
với x 0;x 1;x 9 .Tìm x biết P P
x − 3
Trang 10/17
Tải về để xem bản đầy đủ
41 trang
27/12/2024
340
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_phuong_phap_giai_mot_so_dang_toan_rut_gon_bieu_thuc_chu.pdf
